En esta entrada hablare un poco sobre lo que es la integral de cauchy o integral de contorno cerrado.
Teorema Integral de Cauchy
Teorema de Cauchy: Si f(z) es analitica sobre un contorno cerrado C y su interior, entonces:
Formula Integral de Cauchy: Sea ƒ(z) analítica sobre C, siendo C un contorno cerrado simple, y en el interior de C. Si se toma un punto interior "" de C, se cumple que:
Un ejemplo:
Sea Γ = {z ∈ C : |z| = 1}, sea f una funci ́n holomorfa en A = {z ∈ C : 0 < |z| < 2} tal que
para todo n ≥ 0. Pruebe que z = 0 es una singularidad evitable de f .
Solucion:
Como f es holomorfa en A = {z ∈ C : 0 < |z| < 2}, entonces f admite una serie de Laurent en torno al cero, es decir existen (ck )k∈Z tales que:
luego si k < 0,
pero k < 0 implica que −k − 1 ≥ 0 y usando la hip ́tesis se obtiene que
as ́ ck = 0 para todo k < 0 y
es decir, z = 0 es una singularidad evitable de f ,