Integral de Cauchy

En esta entrada hablare un poco sobre lo que es la integral de cauchy o integral de contorno cerrado.

Teorema Integral de Cauchy

Teorema de Cauchy: Si f(z) es analitica sobre un contorno cerrado C y su interior, entonces:

Formula Integral de Cauchy: Sea ƒ(z) analítica sobre C, siendo C un contorno cerrado simple, y en el interior de C. Si se toma un punto interior "" de C, se cumple que:

Un ejemplo:

Sea Γ = {z ∈ C : |z| = 1}, sea f una funci ́n holomorfa en A = {z ∈ C : 0 < |z| < 2} tal que 

para todo n ≥ 0. Pruebe que z = 0 es una singularidad evitable de f .

Solucion:

Como f es holomorfa en A = {z ∈ C : 0 < |z| < 2}, entonces f admite una serie de Laurent en torno al cero, es decir existen (ck )k∈Z tales que:

luego si k < 0,

pero k < 0 implica que −k − 1 ≥ 0 y usando la hip ́tesis se obtiene que

as ́ ck = 0 para todo k < 0 y

Asi podemos definir                                                     

es decir, z = 0 es una singularidad evitable de f ,